Apuntes Cuarto

Vectores

Vectores fijos

Un vector es un segmento orientado en el que uno de los bordes es el origen y el otro borde es el extremo. Un vector se puede indicar con dos letras mayúsculas $$\overrightarrow{AB}$$ o con una minúscula $$\overrightarrow{v}$$

Para definir un vector tenemos que hablar del módula, la dirección y el sentido.

  • El módulo es la longitud de un vector
  • La dirección es la indicada por la recta r que contiene al vector o una paralela a ella
  • El sentido es el que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.

Partes del vector

Sentidos vector

Componentes de un vector fijo

[LIBRETA]

Vectores equipolentes

Dos vectores fijos no nulos y situados en la misma recta son equipolentes cuando el cuadrilátero que forman es un paralelogramo, es decir, tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Vectores equipolentes

Dos vectores fijos no nulos y situados en la misma recta son equipolentes cuando existe otro vector no situado en la misma recta que es equipolente con los anteriores.

[LIBRETA]

Vector libre

Vectores con mismos componentes

Todos los vectores de la figura tienen los mismos componentes (1, -2). Podríamos dibujar más vectores fijos eligiendo un punto cualquiera (P) y situado el punto Q una unidad a la derecha y dos unidades hacia abajo. Existen infinitos vectores fijos de componentes AB, y todos ellos tienen mismo módulo, dirección y sentido. Al conjunto de todos los vectores fijos de componentes AB se le llama vector libre de componentes AB.

Características del vector libre

  • Un vector libre no puede dibujarse, pero si puedo dibujar un vector fijo.
  • Todos los vectores fijos que forman un vector libre tienen mismo módulo, dirección y sentido
  • Un vector libre queda determinado cuando se conoce uno cualquiera de los vectores fijos, o bien cuando se conocen sus componentes.
  • Un representante de un vector libre es cualquiera de los vectores que lo forman.
  • El módulo, la dirección y el sentido de un vector libre es el módulo, la dirección y el sentido de uno cualquiera de los vectores que lo forman.

Suma gráfica de vectores

Suma por palalelogramo Suma tres vectores

Producto de un vector por un número real

Producto de un vector por un número real

Igualdad de vectores

  • Dados dos vectores u y v, son iguales cuando tienen sus mismos componentes.

$$\overrightarrow{u} = (a, b)$$

$$\overrightarrow{v} = (a', b')$$

$$a = a'$$

$$b = b'$$

$$(a, b) = (a', b')$$

Suma de vectores. Propiedades

  • Dados dos vectores u y v llamamos suma al vector $$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (a, b) + (a', b') = (a + a', b + b')$$

Propiedades

  • Propiedad commutativa: $$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$$
  • Propiedad asociativa: $$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})$$
  • Elemento neutro: $$\overrightarrow{u} + (0, 0) = \overrightarrow{u}$$
  • Efecto simétrico: $$\overrightarrow{u} + \overleftarrow{u} = (0, 0)$$

Producto de un vector por un número real

$$\alpha(a, b) = (\alpha a, \alpha b)$$

Propiedades

  • Distributiva respecto a vectores: $$\alpha(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = \alpha\overrightarrow{u} + \alpha\overrightarrow{v}$$
  • Distributiva respecto a escalares: $$\overrightarrow{u}(\alpha + \beta) = \alpha\overrightarrow{u} + \beta\overrightarrow{u}$$
  • Asociativa mixta: $$\alpha(\beta\overrightarrow{u}) = (\alpha\beta)\overrightarrow{u}$$
  • Elemento identidad: $$1(\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{u}$$

Por cumplir respecto de la suma grupo commutativo o abeliano y respecto del producto las propiedades anteriores, se dice que los vectores tienen estructura de espacio vectorial.

Combinación lineal de vectores

Utilizando las dos operaciones anteriores (suma de vectores y producto de un vector por un número real) podemos obtener a partir de unos determinados vectores otros sin más que sumarlos o multiplicarlos por un número. A esto se le llama combinación lineal de vectores.

Ejemplo

Expresar el vector (1, -2) como combinación lineal de los vectores (-3, 2) y (2, -1)

$$(1, -2) = \alpha(-3, 2) + \beta(2, -1)$$

$$(1, -2) = (-3\alpha, 2\alpha) + (2\beta, -\beta)$$

$$(1, -2) = (-3\alpha + 2\beta, 2\alpha -\beta)$$

$$\require{cancel} \left. 1 = -3\alpha+2\beta \atop -2 = 2\alpha-\beta \right\rbrace \to \left. \atop 2 \right.\left. 1 = -3\alpha\cancel{+2\beta} \atop -4 = 4\alpha\cancel{-2\beta} \right\rbrace \to \color{green}{-3 = \alpha}$$

$$1 = 9+2\beta \to \color{green}{\beta = -4}$$

Dependencia e independencia lineal de vectores

Un conjuno de vectores sol linealmente dependientes cuando uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes. En ek caso contrario son linealmente independientes.

$$\overrightarrow{u} = \alpha\overrightarrow{v}$$

Producto escalar de dos vectores

Es el producto de los módulos de ámbos vectores por el coseno del ángulo que forman. $$\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| = cos \hat{\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}}$$

[DEMOSTRACIÓN LIBRETA (NO ENTRA)]

Ángulo entre los vectores

$$cos \hat{\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}} = \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|} = \frac{aa' + bb'}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a'^2 + b'^2}}$$

Punto medio de un vector

$$M = (\frac{a+a'}{2}, \frac{b + b'}{2})$$