Apuntes Cuarto

Sucesiones

Definición de sucesión

Una sucesión de números reales es una aplicación de un subconjunto A formado por los números naturales excepto el cero en el conjunto de los números reales.

$$\lbrace 3, 5, 7, 9, … \rbrace \to a_n = 2n + 1$$

El término general de una sucesión es una expresión de $n$ de tal forma que al dar a $n$ los valores $1$, $2$, $3$… obtenemos el primer, segundo, tercer… términos de la sucesión.

Una sucesión se puede dar de varias formas:

  1. Término general $$a_n = \frac{3n + 2}{n^2 - 1} = \left\lbrace\frac{5}{0}, \frac{8}{3}, \frac{11}{8}…\right\rbrace$$
  2. Propiedad característica pares = $$\left\lbrace2, 4, 6, 8, …\right\rbrace \to a_n = 2n$$ impares = $$\left\lbrace1, 3, 5, 7, …\right\rbrace \to a_n = 2n - 1$$
  3. Ley de recurrencia $$P.A. \left\lbrace a_n = a_1 + (n - 1)d \atop S = \frac{a_i + a_n}{2}n \right.$$ $$P.G. \left\lbrace \begin{array}{} a_n = a_1 r^{n-1} \ S_{limitada} = \frac{a_n r - a_1}{r-1}n \ S_{ilimitada\ decreciente} = \frac{a_1}{1r} \end{array} \right.$$

Operaciones con sucesiones

Suma de sucesiones. Propiedades

$$\lbrace a_n \rbrace + \lbrace b_n \rbrace = \lbrace a_n + b_n \rbrace$$ $$\lbrace a_1, a_2, a_3... \rbrace + \lbrace b_1, b_2, b_3... \rbrace = \lbrace a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3... \rbrace$$

  • Propiedad asociativa $$\lbrace a_n \rbrace + (\lbrace b_n \rbrace + \lbrace c_n \rbrace) = (\lbrace a_n \rbrace + \lbrace b_n \rbrace) + \lbrace c_n \rbrace$$
  • Propiedad conmutativa $$\lbrace a_n \rbrace + \lbrace b_n \rbrace = \lbrace b_n \rbrace + \lbrace a_n \rbrace$$
  • Elemento neutro $$\lbrace a_n \rbrace + \lbrace 0 \rbrace = \lbrace a_n \rbrace$$
  • Elemento simétrico $$\lbrace a_n \rbrace + \lbrace -an \rbrace = \lbrace 0 \rbrace$$

Producto de sucesiones. Propiedades

$$\lbrace a_n \rbrace \lbrace b_n \rbrace = \lbrace a_n b_n \rbrace$$ $$\lbrace a_1, a_2, a_3... \rbrace \lbrace b_1, b_2, b_3... \rbrace = \lbrace a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3... \rbrace$$

  • Propiedad asociativa $$\lbrace a_n \rbrace (\lbrace b_n \rbrace \lbrace c_n \rbrace) = (\lbrace a_n \rbrace \lbrace b_n) \rbrace) \lbrace c_n \rbrace$$
  • Propiedad conmutativa $$\lbrace a_n \rbrace \lbrace b_n \rbrace = \lbrace b_n \rbrace \lbrace a_n \rbrace$$
  • Elemento neutro $$\lbrace a_n \rbrace \lbrace 1 \rbrace = \lbrace a_n \rbrace$$
  • Elemento simétrico $$\lbrace a_n \rbrace \lbrace \frac{1}{a_n} \rbrace = \lbrace 1 \rbrace$$

Producto de un número escalar por una sucesión

$$k \lbrace a_u \rbrace$$ = $$\lbrace ka_u \rbrace$$

Sucesiones monótonas

$$\lbrace a_1, a_2, a_3... a_n, a_n + 1\rbrace$$ Llamamos sucesión monótona a toda sucesión que sea creciente, decreciente o constante.

Sucesión creciente

Decimos que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

Sucesión decreciente

Decimos que una sucesión es decreciente si cada término es menor o igual que el anterior.

Sucesiones acotadas

Una sucesión está acotada superiormente si existe un número real $k$ tal que $a_n$ es menor o igual que $k$ para todos los números naturales excepto $0$.

Una sucesión está acotada inferiormente si existe un número real $k$ tal que $a_n$ es mayor o igual que $k$ para todos los números naturales excepto $0$.

Una sucesión está acotada cuando lo está superior e inferiormente.

Límites de sucesiones

$$\lbrace 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}...\rbrace \to a_n = \frac{1}{n} \leadsto 0$$ $$\lbrace 1,2, 3, 4...\rbrace \leadsto \infty$$

Límite

El límite de una sucesión $a_n$ es $l$ si el valor absoluto de la diferencia entre $a_n$ y $l$ puede hacerse menor que un número positivo $\epsilon$ a partir de cierto término $a_p$ $$| a_n - L | < \epsilon$$

Propiedades de los límites

  1. El límite de una sucesión, si existe, es único -> Unicidad del límite.
    • Solo las sucesiones monótonas tienen límites.
  2. Toda sucesión convergente está acotada.

Sucesión convergente

Sucesión que tiene por límite un número real.

Sucesión nula

Sucesión que tiene por límite el cero.

Sucesión divergente

Sucesión que tiene por límite $\infty$ o $-\infty$.

Sucesión oscilante

Sucesión que no es ni convergente ni divergente

Límites de operaciones de sucesiones

Límite de una suma de sucesiones

$$\left. \lim a_n = a \atop \lim b_n = b \right\rbrace \lim a_n + \lim b_n = \lim (a_n + b_n)$$

Límite del producto de dos sucesiones

$$\left. \lim a_n = a \atop \lim b_n = b \right\rbrace \lim a_n \lim b_n = \lim (a_nb_n)$$

Límite del cociente de dos sucesiones

$$\left. \lim a_n = a \atop \lim b_n = b \right\rbrace \frac{\lim a_n}{\lim b_n} = \lim \frac{a_n}{b_n}$$

Límite de una sucesión constante

$$\lim k = k$$