Apuntes Cuarto

Ecuaciones de la recta

Ecuación vectorial

Una recta queda definida cuando se conoce un punto A cualquiera y el vector director $\overrightarrow{v}$. Según vamos modificando los valores de $t$, vamos obteniendo todos los puntos de la recta.

Representación gráfica

$A(x_1, y_1)$

$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2)$

$\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{v}$

$O(0, 0)$ $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP}$$ $$(x_1 - 0, y_1 - 0) + t\overrightarrow{v} = (x - 0, y - 0)$$ $$\require{color}{\color{green}(x_1, y_1) + t(v_1, v_2) = (x, y)}\to Ecuación\ vectorial$$

  • Ejercicio: Escribir la ecuación vectorial que pasa por el punto $(1, 2)$ y lleva la dirección del vector $(3, 4)$: $$(x, y) = (1, 2) + t(3, 4)$$

Ecuaciones paramétricas

(Partimos de la ecuación vectorial) $$(x, y) = (x_1, y_1) + t(v_1, v_2)$$ $$(x, y) = (x_1, y_1) + (tv_1, tv_2)$$ $$(x, y) = (x_1 + tv_1, y_1 + tv_2)$$ $${\color{green}\left. x = x_1 + tv_1 \atop y = y_1 + tv_2 \right\rbrace} \to Ecuaciónes\ paramétricas$$

  • Ejercicio: Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $(1, 2)$ y lleva la dirección del vector $(3, -4)$. (Continuación del ejercicio anterior) $$\left. x = 1+3t \atop y 0 2+4t \right\rbrace$$

Ecuación continua

(Partimos de las ecuaciones paramétricas) $$\left. t = \frac{x - x_1}{v_1} \atop t = \frac{y - y_1}{v_2} \right\rbrace \to {\color{green}\frac{x - x_1}{v_1} = \frac{y - y_1}{v_2}} \to Ecuación\ continua$$

  • Ejercicio: Escribir la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $(1, 2)$ y lleva la dirección del vector $(3, -4)$. (Continuación del ejercicio anterior) $$\frac{x-1}{3} = \frac{y - 2}{-4}$$

Ecuación general o implícita

(Partimos de la ecuación continua) $$v_2(x - x_1) = v_1(y - y_1)$$ $$v_2x - v_2x_1 = v_1y - v_2y_1$$ $${\color{blue}v_2}x {\color{purple}-v_1}y {\color{red}+v_1y_1} = 0$$ $${\color{blue}A}x + {\color{purple}B}y + {\color{red}C} = 0 \to Ecuación\ General$$

Ordenada en el origen y pendiente

  • La pendiente de una recta es la inclinación de esta. Se indica con una $m$. $$m = \frac{v_2}{v_1} = \frac{-A}{B}$$

  • La ordenada en el origen es el punto en el que la recta corta al eje $y$. Se indica con una $n$. $$n = \frac{-C}{B}$$

Ecuación punto pendiente

(Partimos de la ecuación continua) $$\frac{x-x_1}{v_1} = \frac{y - y_1}{v_2}$$ $${\color{purple}\frac{v_2}{v_1}}(x - x_1) = y - y_1$$ $${\color{purple}m}(x - x_1) = y - y_1 \to Ecuación\ punto\ pendiente$$

  • Ejercicio: Escribir la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto $(1, 2)$ y cuya pendiente es $2$ $$2(x - 1) = y - 2$$

Ecuación explícita

(Partimos de la ecuación punto pendiente) $$y - y_1 = m(x-x_1)$$ $$y - y_1 = mx - mx_1$$ $$y = mx {\color{purple}-mx_1 + y_1}$$ $$y = mx {\color{purple}+n} \to Ecuación\ explícita$$

  • Ejercicio: Escribir la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto $(1, 2)$ y cuya pendiente es $2$ $$\require{cancel}y = 2x \cancel{- 2 + 2}$$

Ecuación que pasa por dos puntos

Gráfico

$m = tg\alpha = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ $${\color{green}\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}} \to Ecuación\ que\ pasa\ por\ dos\ puntos$$

  • Ejercicio: Escribir la ecuación que pasa por dos puntos de la recta que pasa por el punto $(3, 2)$ y el punto $(1, -3)$ $$\frac{x-3}{1 - 3} = \frac{y - 2}{-3 -2}$$

Ecuación canónica o segmentaria

(Partimos de la ecuación que pasa por dos puntos)

Gráfica

$$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \to \frac{x - a}{0 - a} = \frac{y - 0}{b - 0} \to \frac{x - a}{- a} = \frac{y}{b}$$ $$bx-ab = -ay \to bx+ay-ab=0$$ $$\frac{\cancel{b}x}{a\cancel{b}} + \frac{\cancel{a}y}{\cancel{a}b} - \frac{ab}{ab} \to \frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$$ $${\color{green}\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1} \to Ecuación\ canónica\ o\ segmentaria$$

Incidencia de punto y recta

Un punto pertenece a una recta si sus coordenadas satisfacen la ecuación de dicha recta.

Posición realista de la recta

Posiciones

  • Sistema compatible determinado: Al resolver el sistema solo queda una solución $$\frac{A}{A'} \ne \frac{B}{B'} \ne \frac{C}{C'} \to Secantes$$

  • Sistema incompatible: El sistema no tiene ninguna solución $$\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} \ne \frac{C}{C'} \to Paralelas$$

  • Sistema compatible indeterminado: El sistema tiene infinitas soluciones $$\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \to Coincidentes$$

Condición de paralelismo

$r = Ax + By + C = 0$

$s = A'x + B'y + C' = 0$ $$\frac{A}{\color{purple}A'} = \frac{\color{purple}B}{B'} \to \frac{-A}{\color{purple}B} = \frac{\color{purple}-A'}{B'}$$ $$m = \frac{A}{B} ;\ m' = \frac{A'}{B'}$$ $${\color{green}m = m'}$$

  • Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto $(-2, 3)$ y es paralela a $3x-5y+6 = 0$.

$m = \frac{3}{5}$ $$3x-5y+C' = 0$$ $$3(-2) - 5(3) + C' = 0 \to -6 -15 + C' = 0 \to {\color{green}C' = 21}$$ $${\color{green}3x-5y+21 = 0}$$

Condición de perpendicularidad

$$AA' + BB' = 0$$ $$\frac{A}{-B} = \frac{B'}{A'}$$ $${\color{green}m = \frac{1}{-m'}}$$

  • Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta que pasa por $(-2, 3)$ y es perpendicular a $3x-5y+6$.

$m = \frac{3}{5}$

$m' = -\frac{5}{3}$ $$y-3 = -\frac{5}{3}(x+2) \to 3y-9 = -5x-10$$ $${\color{green}5x+3y+1 = 0}$$